آموزشی

هندسه فضایی — «فکر کردن در سه بُعد»

Name: هندسه فضایی — «فکر کردن در سه بُعد»
Author: MHA

وقتی کاغذ دیگر کافی نیست

یک ساختمان، یک هواپیما، یک اتاق یا حتی یک جعبه را نمی‌توان واقعاً با دو جهت فهمید. در «فکر کردن در سه بُعد» از صفحه بیرون می‌آیی و یاد می‌گیری خط‌ها و صفحه‌هایی را ببینی که در فضا از کنار هم عبور می‌کنند، اجسام را در ذهنت بچرخانی و چیزی را تصور کنی که هنوز روی کاغذ رسم نشده است.

یک جسم؛ ده‌ها تصویر متفاوت

از بالا یک شکل می‌بینی، از روبه‌رو شکلی دیگر. گاهی باید از چند نمای دوبعدی بفهمی جسم واقعی چه شکلی است؛ گاهی باید یک مکعب را در ذهن باز کنی، جسمی را برش بزنی و پیش‌بینی کنی سطح مقطع آن دایره است، بیضی است یا شکلی کاملاً متفاوت.

وقتی فضا به عدد تبدیل می‌شود

بعد وارد مختصات سه‌بعدی می‌شوی. هر نقطه یک آدرس (x,y,z) پیدا می‌کند و فاصله‌ای که قبلاً فقط روی کاغذ اندازه می‌گرفتی، حالا از یک گوشه اتاق تا گوشه مقابل امتداد پیدا می‌کند. بردارها نیز وارد ماجرا می‌شوند تا جهت حرکت، زاویه، نیرو و موقعیت را توصیف کنند.

از زاویه تا مساحت و حجم

ضرب داخلی نشان می‌دهد دو جهت چه زاویه‌ای با هم دارند؛ ضرب خارجی برداری می‌سازد که از صفحه بیرون می‌زند و مساحت را آشکار می‌کند؛ و وقتی سه بردار مستقل کنار هم قرار بگیرند، می‌توانی حجم یک سازه سه‌بعدی را مستقیماً از جهت‌هایش به دست بیاوری.

چرا «فکر کردن در سه بُعد» متفاوت است؟

در رابین قرار نیست هندسه فضایی را با چند شکل گیج‌کننده حفظ کنی. خودت جسم را می‌چرخانی، از زاویه‌های مختلف می‌بینی، برش می‌زنی، موقعیت‌ها را پیش‌بینی می‌کنی و بعد ریاضی را برای توضیح چیزی به کار می‌بری که واقعاً در ذهنت ساخته‌ای.

«فکر کردن در سه بُعد» جایی است که هندسه از روی کاغذ بلند می‌شود و وارد دنیای واقعی می‌شود.

نوشتهٔ MHA دسته: آموزشی های درسی #آموزشی #سطح سوم #آموزشی های آکادمیک

پیوند یکتای کتاب https://rabinbooks.ir/book/geometry-thinking-in-3d

نظرات کاربران

شما اولین نظر را میدهید

تا کنون نظری برای این کتاب نوشته نشده است

برای ادامه کشف

کتاب‌های مرتبط

پیشنهادهایی نزدیک به موضوع، برچسب و نوع این کتاب

احتمال و شمارش — «مهندسی شانس»

اگر هزار راه وجود داشته باشد، لازم نیست همه را بشماریفرض کن باید یک رمز پنج‌رقمی طراحی کنی، گروهی از میان ده نفر انتخاب کنی یا بفهمی یک قرعه‌کشی واقعاً عادلانه است. خیلی زود تعداد حالت‌ها آن‌قدر زیاد می‌شود که شمردن یکی‌یکی دیگر ممکن نیست. در «مهندسی شانس» یاد می‌گیری با اصل جمع و ضرب، جایگشت و ترکیب تعداد حالت‌ها را بدون فهرست‌کردن آنها پیدا کنی.اما تعداد حالت‌ها فقط نصف ماجراستبعد سؤال مهم‌تر مطرح می‌شود: کدام اتفاق محتمل‌تر است؟ فضای نمونه و پیشامدها را می‌سازی، شانس رخدادها را اندازه می‌گیری و مهم‌تر از همه می‌فهمی چرا همیشه نمی‌توان گفت «حالت مطلوب تقسیم بر حالت ممکن»؛ چون در دنیای واقعی همه حالت‌ها لزوماً همشانس نیستند.یک اطلاعات تازه می‌تواند همه احتمال‌ها را عوض کنددر مراحل پیشرفته‌تر، یک شاهد تازه وارد می‌شود. می‌فهمی مهره‌ای که بیرون آمده سیاه است، نتیجه یک آزمایش مثبت شده یا مرحله اول یک انتخاب مشخص شده است. حالا باید با احتمال شرطی، استقلال، احتمال کل و بیز شانس‌ها را دوباره محاسبه کنی.در رابین قرار نیست فقط فرمول اجرا کنی؛ ابتدا حدس می‌زنی، حالت‌ها را مدل می‌کنی، نتیجه را حساب می‌کنی و بعد می‌پرسی آیا جواب واقعاً منطقی است.«مهندسی شانس» جایی است که تصادف از چیزی مبهم تبدیل می‌شود به چیزی که می‌توانی حالت‌هایش را بشماری، شانسش را اندازه بگیری و با رسیدن اطلاعات تازه دوباره تحلیلش کنی.

مشاهده کتاب

آمار و تحلیل داده — «بازجویی از داده‌ها»

وقتی عددها همه حقیقت را نمی‌گوینددو کلاس ممکن است میانگین یکسانی داشته باشند، اما یکی نمره‌های فشرده و دیگری نمره‌های بسیار پراکنده داشته باشد. «بازجویی از داده‌ها» از همین سؤال شروع می‌شود: آیا یک عدد برای فهمیدن واقعیت کافی است؟در این کتاب یاد می‌گیری داده‌ها را دسته‌بندی و با نمودارها نمایش بدهی، میانگین و میانه و نما را مقایسه کنی، پراکندگی را با انحراف معیار و نمودار جعبه‌ای ببینی و بفهمی یک عدد دورافتاده چگونه می‌تواند نتیجه را تغییر دهد.بعد سراغ سؤال مهم‌تری می‌روی: این داده‌ها اصلاً از کجا آمده‌اند؟ جامعه و نمونه را بررسی می‌کنی، روش‌های نمونه‌گیری را مقایسه می‌کنی و یاد می‌گیری چرا یک نظرسنجی با نمونه بد می‌تواند نتیجه‌ای کاملاً گمراه‌کننده بسازد.در مراحل پیشرفته‌تر، از یک نمونه کوچک درباره یک جامعه بزرگ‌تر نتیجه می‌گیری و با مفهوم برآورد و عدم‌قطعیت آشنا می‌شوی.در رابین هر مجموعه داده یک پرونده است؛ باید سرنخ‌ها را پیدا کنی، نمودارها را بخوانی و در نهایت تصمیم بگیری:«داده‌ها واقعاً چه چیزی را ثابت می‌کنند، و چه چیزی را هنوز نمی‌دانیم؟»

مشاهده کتاب

هندسه مسطحه — «راز شکل‌ها»

شکلی که چیزی را از تو پنهان کرده استیک مثلث ساده روی صفحه می‌بینی؛ چند خط، چند زاویه و چند عدد. اما شاید همان شکل اطلاعاتی را در خودش پنهان کرده باشد که هیچ‌کس مستقیماً به تو نداده است. ممکن است فقط با فهمیدن اینکه دو خط موازی‌اند، طولی را پیدا کنی که اندازه‌گیری نشده؛ یا با اضافه‌کردن یک خط کوچک، مسئله‌ای که غیرممکن به نظر می‌رسید ناگهان ساده شود. «راز شکل‌ها» درباره همین لحظه است: لحظه‌ای که تصویر معمولی تبدیل به یک معما می‌شود.از دیدن تا اثبات کردندر این کتاب فقط قرار نیست زاویه و طول حساب کنی. باید یاد بگیری چه چیزی واقعاً در مسئله داده شده و چه چیزی را فقط از ظاهر شکل حدس زده‌ای. کم‌کم با همنهشتی، تالس و تشابه می‌توانی روابط پنهان را آشکار کنی و بفهمی چرا بعضی شکل‌ها با وجود اندازه متفاوت، در اصل یک ساختار دارند. مهم‌تر از جواب نهایی این است که بتوانی بگویی چرا جواب حتماً درست است.دایره‌ها، تقارن‌ها و خط‌هایی که همه‌چیز را عوض می‌کنندهرچه جلوتر می‌روی، شکل‌ها پیچیده‌تر اما ابزارها هوشمندانه‌تر می‌شوند. ویژگی‌های چهارضلعی‌ها را کشف می‌کنی، با دایره‌ها و زاویه‌های محاطی و مماس‌ها درگیر می‌شوی و می‌بینی یک بازتاب، دوران یا خط کمکی گاهی می‌تواند یک اثبات چندمرحله‌ای را به ایده‌ای بسیار ساده تبدیل کند. بعد قضیه‌های سینوس و کسینوس، نیمساز و هرون وارد می‌شوند تا حتی در مثلث‌هایی که ظاهر ساده‌ای ندارند، طول و مساحت‌های پنهان را پیدا کنی.وقتی یک شرط، خودش یک شکل می‌سازددر مراحل پیشرفته‌تر، سؤال تغییر می‌کند. دیگر همیشه شکل را به تو نمی‌دهند؛ گاهی فقط یک قانون می‌دهند: «تمام نقاطی که از یک نقطه فاصله ثابت دارند» یا «تمام نقاطی که مجموع فاصله‌شان از دو نقطه ثابت است». از همین قوانین، دایره، بیضی و سهمی متولد می‌شوند و می‌فهمی شکل‌ها فقط نقاشی نیستند؛ می‌توانند نتیجه منطقی یک شرط باشند.چرا «راز شکل‌ها» متفاوت است؟در رابین اثبات قرار نیست مجموعه‌ای از جمله‌های رسمی و ترسناک باشد. هر مسئله مثل یک پرونده است: باید سرنخ‌ها را ببینی، رابطه پنهان را حدس بزنی، ابزار مناسب را انتخاب کنی و در نهایت نشان بدهی چرا نتیجه‌ات ناگزیر درست است. گاهی مسئله از تو عدد می‌خواهد؛ گاهی فقط یک خط کمکی؛ و گاهی برای پیروزی کافی است یک مثال نقض کوچک پیدا کنی که کل ادعا را فرو بریزد.«راز شکل‌ها» جایی است که هندسه از محاسبه زاویه‌ها فراتر می‌رود و تبدیل می‌شود به هنر دیدن روابط پنهان و ثابت‌کردن چیزهایی که در نگاه اول اصلاً دیده نمی‌شوند.

مشاهده کتاب

مشتق و کاربردهای آن — «ریاضیاتِ تغییر»

وقتی «سرعت متوسط» دیگر کافی نیستفرض کن می‌دانی یک خودرو در ده ثانیه چه مسافتی طی کرده است؛ پس سرعت متوسطش را می‌توانی حساب کنی. اما اگر بخواهی بفهمی دقیقاً در یک لحظه خاص با چه سرعتی حرکت می‌کرده چه؟ «ریاضیاتِ تغییر» از همین سؤال شروع می‌شود و قدم‌به‌قدم نشان می‌دهد چگونه نزدیک‌کردن دو لحظه به یکدیگر، ما را از شیب یک خط قاطع به شیب مماس و مفهوم مشتق می‌رساند.از شیب یک منحنی تا سرعت جهانمشتق اینجا فقط یک فرمول برای امتحان نیست. یاد می‌گیری چگونه نرخ تغییر دما، حرکت یک جسم یا تغییر هر تابع را در یک لحظه اندازه بگیری. بعد قواعد مشتق‌گیری، توابع مثلثاتی و قاعده زنجیره‌ای وارد می‌شوند؛ اما هر کدام زمانی آموزش داده می‌شوند که واقعاً برای حل یک مسئله به آن‌ها نیاز داری.قله‌ها، دره‌ها و نقاطی که رفتار عوض می‌شوددر ادامه، مشتق تبدیل به ابزاری برای خواندن نمودارها می‌شود. می‌فهمی تابع کجا صعودی یا نزولی است، کجا به بیشینه یا کمینه می‌رسد و چرا مشتق صفر همیشه به معنی قله یا دره نیست. با مشتق دوم نیز تقعر و نقطه عطف را کشف می‌کنی و کم‌کم می‌توانی فقط از روی چند اطلاعات تحلیلی، شکل یک نمودار را بازسازی کنی.چرا «ریاضیاتِ تغییر» متفاوت است؟در رابین قرار نیست فقط مشتق بگیری؛ باید بفهمی عددی که به دست آورده‌ای درباره رفتار واقعی تابع چه می‌گوید. گاهی یک خودرو را تحلیل می‌کنی، گاهی تغییر دما یا رشد یک کمیت را، و گاهی باید بهترین یا کمترین مقدار ممکن را پیدا کنی.«ریاضیاتِ تغییر» جایی است که مشتق از یک جدول فرمول، به ابزاری برای دیدن سرعت، جهت و لحظه تغییر تبدیل می‌شود.

مشاهده کتاب

حد و پیوستگی — «تا مرز بی‌نهایت»

فرض کن روی خط اعداد به سمت ۲ حرکت می‌کنی: ۱، بعد ۱٫۹، بعد ۱٫۹۹، بعد ۱٫۹۹۹... هر لحظه نزدیک‌تر می‌شوی، اما هیچ‌وقت دقیقاً روی ۲ نمی‌ایستی. «تا مرز بی‌نهایت» از همین سؤال شروع می‌شود: اگر هرگز به مقصد نرسی، باز هم می‌توانی بفهمی به چه چیزی میل می‌کنی؟وقتی خودِ نقطه مهم نیستدر این کتاب یاد می‌گیری که یک تابع ممکن است در نقطه‌ای اصلاً تعریف نشده باشد، اما هنوز بتوان درباره رفتارش در اطراف آن حرف زد. اینجاست که تفاوت میان مقدار تابع و حد تابع را واقعاً می‌فهمی و یاد می‌گیری یک نقطه را از سمت چپ و راست جداگانه بررسی کنی.از صفر بر صفر تا پیوستگیگاهی جایگذاری مستقیم به 0/0 می‌رسد؛ اما این جواب نیست، بلکه نشانه‌ای است که باید ساختار پنهان عبارت را پیدا کنی. با تجزیه، ساده‌سازی، گویاکردن و تحلیل نمودار، حد را کشف می‌کنی. بعد به پیوستگی می‌رسی و یاد می‌گیری چرا بعضی نمودارها سوراخ دارند، بعضی می‌پرند و بعضی را می‌توان با انتخاب یک مقدار درست دوباره «ترمیم» کرد.وقتی بی‌نهایت وارد ماجرا می‌شوددر مراحل پیشرفته‌تر، تابع‌ها ممکن است هنگام نزدیک شدن به یک نقطه بدون کران بزرگ یا کوچک شوند. بعد خودِ x به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت حرکت می‌کند و تو باید رفتار دوردست تابع را بررسی کنی. از همین‌جا مفهوم مجانب‌های قائم و افقی شکل می‌گیرد و کم‌کم می‌توانی بدون رسم کامل یک تابع، سرنوشت نمودارش را پیش‌بینی کنی.چرا «تا مرز بی‌نهایت» متفاوت است؟در رابین حد فقط یک تکنیک محاسباتی نیست. باید نمودار را بخوانی، رفتار تابع را پیش‌بینی کنی، از دو طرف به یک مرز نزدیک شوی و بفهمی چرا بعضی مقدارها هرگز به مقصد نمی‌رسند اما می‌توانند بی‌نهایت به آن نزدیک شوند.«تا مرز بی‌نهایت» جایی است که حد از یک فرمول عجیب، به زبان فهم رفتار تابع‌ها و دروازه ورود به حسابان تبدیل می‌شود.

مشاهده کتاب

آمار و احتمال — «ریاضیاتِ اتفاق‌ها»

اگر احتمال باران ۸۰٪ باشد و فردا باران نبارد، آیا هواشناسی اشتباه کرده است؟ همین سؤال ساده دروازه ورود به «ریاضیات اتفاق‌ها»ست. این کتاب قرار نیست فقط یاد بدهد احتمال یک تاس یا میانگین چند عدد را حساب کنی؛ قرار است یاد بگیری در جهانی که تقریباً هیچ چیز در آن کاملاً قطعی نیست، چگونه با عددها فکر کنی.ابتدا وارد دنیای اتفاق‌های تصادفی می‌شوی: فضای نمونه می‌سازی، پیشامدها را پیدا می‌کنی و یاد می‌گیری شانس یک اتفاق را اندازه بگیری. بعد اوضاع پیچیده‌تر می‌شود؛ گاهی همه نتیجه‌ها شانس یکسان ندارند، گاهی یک اطلاعات تازه همه محاسبات را عوض می‌کند و گاهی باید بفهمی «احتمال بیمار بودن با داشتن جواب مثبت آزمایش» چرا با «احتمال مثبت شدن آزمایش در صورت بیمار بودن» یکی نیست. اینجاست که احتمال شرطی، استقلال، احتمال کل و قانون بیز وارد بازی می‌شوند.بعد نوبت داده‌هاست. از میان صدها عدد باید بفهمی واقعاً چه اتفاقی افتاده. جامعه و نمونه را می‌شناسی، متغیرها را دسته‌بندی می‌کنی، جدول و نمودار می‌سازی و با میانگین، میانه، نما، انحراف معیار و نمودار جعبه‌ای به داده‌ها معنا می‌دهی. سپس یک مرحله جلوتر می‌روی: چگونه می‌توان با بررسی فقط بخشی از مردم، درباره یک جامعه بزرگ نتیجه گرفت؟ چه نمونه‌ای قابل اعتماد است؟ چه زمانی یک نظرسنجی گمراه‌کننده است؟ و یک «بازه اطمینان» واقعاً چه چیزی به ما می‌گوید؟در «ریاضیات اتفاق‌ها» هر فرمول از دل یک سؤال بیرون می‌آید و هر عدد باید معنایی داشته باشد. ممکن است یک روز تحلیل‌گر هواشناسی باشی، یک روز خط تولید یک کارخانه را بررسی کنی، یک روز صحت یک نظرسنجی را زیر سؤال ببری و روز دیگر از روی یک آزمایش پزشکی احتمال واقعی یک بیماری را محاسبه کنی.این کتاب درباره پیش‌بینی آینده نیست؛ درباره این است که وقتی آینده را دقیق نمی‌دانی، باز هم بتوانی عاقلانه فکر کنی.

مشاهده کتاب

هندسه تحلیلی و برداری — «مختصات جهان»

وقتی یک نقطه تبدیل به عدد می‌شودروی یک نقشه دیجیتال، یک نقطه فقط یک نقطه نیست؛ دو عدد می‌توانند جای دقیق آن را مشخص کنند. اگر همین ایده را ادامه بدهی، فاصله دو مکان، شیب یک جاده، مسیر حرکت یک پهپاد و حتی شکل یک دایره یا سهمی هم می‌تواند به زبان معادله نوشته شود. «مختصات جهان» از همین تبدیل شگفت‌انگیز شروع می‌شود: چطور می‌توان شکل و فضا را به عدد ترجمه کرد؟از شیب یک خط تا جهت حرکتدر این کتاب، مختصات فقط برای نقطه‌گذاری نیست. یاد می‌گیری چگونه از دو نقطه، فاصله و معادله یک خط را پیدا کنی و بعد می‌بینی تانژانت یک زاویه همان چیزی است که شیب خط را توصیف می‌کند. سینوس، کسینوس و دایره مثلثاتی هم کم‌کم به ابزارهایی برای فهم جهت تبدیل می‌شوند؛ ابزارهایی که بعدتر دوباره در دنیای بردارها ظاهر خواهند شد.دایره، سهمی و بیضی؛ شکل‌هایی که در معادله پنهان شده‌اندیک معادله می‌تواند پشت خودش یک شکل کامل مخفی کرده باشد. در «مختصات جهان» یاد می‌گیری از روی معادله، مرکز و شعاع یک دایره را کشف کنی، بفهمی یک خط آن را قطع می‌کند یا فقط لمسش می‌کند و سهمی را یک‌بار به‌عنوان نمودار و بار دیگر به‌عنوان مجموعه‌ای از نقاط با یک قانون هندسی ببینی. سپس پای کانون‌ها، بیضی و مقاطع مخروطی هم به ماجرا باز می‌شود.وقتی صفحه دیگر کافی نیستدر مراحل پیشرفته‌تر، محور سوم اضافه می‌شود و وارد فضای سه‌بعدی می‌شوی. نقطه‌ها به (x,y,z) تبدیل می‌شوند و حرکت‌ها به بردار. با ضرب داخلی زاویه میان دو جهت را پیدا می‌کنی و با ضرب خارجی حتی می‌توانی از دو بردار به جهت عمود و مساحت برسی.چرا «مختصات جهان» متفاوت است؟اینجا قرار نیست مجموعه‌ای از فرمول‌های خط، دایره و بردار را حفظ کنی. رابین مدام تو را مجبور می‌کند بین شکل، عدد، معادله و حرکت رفت‌وبرگشت کنی تا بفهمی همه آنها درواقع زبان‌های متفاوت یک چیزند.«مختصات جهان» جایی است که یاد می‌گیری فضا را به عدد تبدیل کنی و از روی عددها، دوباره جهان را بسازی.

مشاهده کتاب

تابع — «ماشین اسرارآمیز عددها»

وقتی یک چیز تغییر می‌کند، چه چیز دیگری همراهش تغییر می‌کند؟سرعت یک خودرو با زمان تغییر می‌کند، هزینه ارسال با وزن بسته بالا می‌رود، ارتفاع خورشید در طول روز عوض می‌شود و جمعیت یک شهر می‌تواند سال‌به‌سال رشد کند. پشت همه این موقعیت‌ها یک ایده قدرتمند قرار دارد: تابع. تابع به ما اجازه می‌دهد رابطه میان دو کمیت را پیدا کنیم و بفهمیم وقتی یکی تغییر می‌کند، دیگری دقیقاً چه رفتاری نشان می‌دهد. در «ماشین اسرارآمیز عددها» قرار نیست فقط یاد بگیری f(x) را حساب کنی؛ قرار است زبان پنهان رابطه‌ها و تغییرات را بخوانی.از چند عدد پراکنده تا یک قانون قابل پیش‌بینیگاهی یک تابع به شکل فرمول ظاهر می‌شود، گاهی در قالب جدول، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک نمودار. تو یاد می‌گیری این نمایش‌های مختلف را به یکدیگر تبدیل کنی و از میان آن‌ها قانون پنهان را کشف کنی. کم‌کم مفاهیمی مثل ورودی و خروجی، دامنه و برد، انواع تابع و توابع چندضابطه‌ای معنا پیدا می‌کنند؛ نه به‌عنوان چند تعریف برای حفظ‌کردن، بلکه به‌عنوان ابزارهایی برای پاسخ‌دادن به سؤال‌هایی واقعی: چه مقدارهایی اصلاً مجازند؟ چه خروجی‌هایی ممکن‌اند؟ و آیا از روی یک نمودار می‌توان رفتار رابطه را پیش‌بینی کرد؟وقتی تابع‌ها تغییر شکل می‌دهندهرچه جلوتر بروی، رفتار تابع‌ها جذاب‌تر می‌شود. با توابع خطی، درجه دوم، درجه سوم، قدرمطلق، رادیکالی، گویا، نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی روبه‌رو می‌شوی و می‌بینی هرکدام «شخصیت» متفاوتی دارند. بعد یاد می‌گیری نمودار یک تابع را جابه‌جا کنی، بکشانی، فشرده یا قرینه کنی و حتی قبل از رسم نمودار پیش‌بینی کنی تغییر یک عدد در فرمول چه بلایی سر شکل آن می‌آورد.ماجرا به همین‌جا ختم نمی‌شود؛ بعضی تابع‌ها را می‌توان وارونه کرد و از خروجی دوباره به ورودی رسید. بعضی را می‌توان با هم جمع یا ضرب کرد و حتی یک تابع را داخل تابع دیگری قرار داد تا یک رابطه کاملاً تازه ساخته شود.چرا «ماشین اسرارآمیز عددها» جذاب است؟در رابین تابع قرار نیست یک فصل پر از فرمول و نمودارهای بی‌معنا باشد. هر مفهوم با یک مسئله، نمودار، الگو یا موقعیت واقعی شروع می‌شود و تو باید قبل از دیدن پاسخ، پیش‌بینی کنی، آزمایش کنی و دلیل بیاوری. گاهی باید از روی چند نقطه قانون یک تابع را کشف کنی، گاهی از روی فرمول شکل نمودار را حدس بزنی و گاهی تشخیص بدهی یک مدل ریاضی اصلاً می‌تواند پدیده‌ای واقعی را توضیح دهد یا نه.«ماشین اسرارآمیز عددها» در اصل کتابی درباره کشف رابطه‌هاست؛ جایی که یاد می‌گیری تغییر یک چیز چگونه تغییر چیز دیگری را رقم می‌زند و چگونه می‌توان این ارتباط پنهان را با زبان ریاضی دید، رسم کرد و پیش‌بینی کرد.

مشاهده کتاب

هندسه فضایی — «فکر کردن در سه بُعد»

نظرات کاربران

شما اولین نظر را میدهید

کتاب‌های مرتبط

احتمال و شمارش — «مهندسی شانس»

آمار و تحلیل داده — «بازجویی از داده‌ها»

هندسه مسطحه — «راز شکل‌ها»

مشتق و کاربردهای آن — «ریاضیاتِ تغییر»

حد و پیوستگی — «تا مرز بی‌نهایت»

آمار و احتمال — «ریاضیاتِ اتفاق‌ها»

هندسه تحلیلی و برداری — «مختصات جهان»

تابع — «ماشین اسرارآمیز عددها»

در حال بارگذاری...